Calculateur de Guirlande

Calculez la longueur de votre guirlande !

Hauteur du sapin (en cm) :

Rayon à la base (en cm) :

Espacement entre chaque tour (en cm) :

RÉSULTAT

Comment ça marche ?

Le problème :

La guirlande, ça coûte cher ! C'est pour ça qu'aujourd'hui je vous donne le moyen de calculer (de manière quasi exacte) la longueur de votre guirlande pour que vous puissiez économiser !

Un sapin de Noël peut être modélisé comme un cône. La guirlande s'enroule autour de ce cône en formant une spirale, avec un espacement régulier entre chaque tour.

La formule mathématique :

Pour calculer la longueur de la guirlande, j'ai procédé en plusieurs étapes :

1) Vision en 2D : D'abord, j'ai visualisé le cône de face en 2D.

2) Approximation par cercles : J'ai fait l'approximation que la guirlande pouvait n'être qu'une somme de cercles de rayons de plus en plus grands, c'est-à-dire pas de jointures en diagonale entre les différents cercles.

3) Modélisation du sapin :

h : hauteur de feuilles
R : rayon à la base
θ : angle entre l'arbre et ses feuilles
ε : espacement entre chaque tour (il fallait bien une lettre grecque)

4) Dépliage du cône : J'ai "déplié" le cône pour mieux visualiser le problème.

5) Relations géométriques : On connaît la relation arc-rayon :

s = α × r ⟹ s_i = α × r_i ∀i

D'où on obtient :

α = 2πR / √(h² + R²)

6) Par Pythagore et relations trigonométriques :

r_i = √(h_i² + R_i²) Avec : R_i = tan(θ) × h_i, h_i = i × ε , tan(θ) = R/h Soit : r_i = i × ε × √(1 + (R/h)²)

7) Calcul de la longueur totale : Avec N ∈ ℝ tel que N × ε = h, il est clair que :

L_tot = Σ_i=1^⌊h/ε⌋ s_i ⟺ L_tot = Σ_i=1^⌊h/ε⌋ α × r_i ⟺ L_tot = (2πR / √(h² + R²)) × √(1 + (R/h)²) × Σ_i=1^⌊h/ε⌋ i × ε

Exemple :

Pour un sapin de 8m de haut, avec un rayon de base de 1.5m et un espacement de 30 cm :

L ≈ 124.05m.

Donc avec 130m vous devriez être bon !

Note : Cette méthode par approximation de cercles donne un résultat très proche de la longueur réelle de la spirale, tout en étant plus simple à calculer.